Quasi-Monte Carlo Methoden

Quasizufallszahlen

A fundamental problem of Quasi-Monte Carlo methods is the explicit construction of finite point sets and infinite sequences which fill out the -dimensional unit cube as uniform as possible. The uniformity is measured by a quantity called discrepancy. A sequence is called a low-discrepancy sequence or quasi-random sequence if the discrepancy of the first points decays asymptotically like .
There are various constructions, based on combinatiorial method, algebraic number theory and ergodic theory. Recent constructions of Niederreiter-Xing use algebraic curves over finite fields and obtain sequences with excellent uniform behaviour.

Für eine Einführung: http://www.mathdirect.com/products/qrn/.

QR Streams

QR Streams ist in Zusammenarbeit mit CSK (Schweiz) AG entstanden. Es werden drei Pakete angeboten.

Ein frei erhältliches Demo-Paket

Ein objekt-orientiertes Streams-Interface zu den wichtigsten klassischen und modernen Generatoren von Quasizufallszahlen, sowie ein gleiches Interface zu Mathematicas Pseudozufallszahlen.

Ein MathLink-Zusatz, mit dem Niederreiter-Sequenzen in C++ erzeugt und mit der selben Schnittstelle zugegriffen werden können.

Die Software wird in rein elektronischer Form von mathDirect über das Internet vertrieben: http://www.mathdirect.com.

Das Streams Interface

Statistische Verteilungen

Alle eingebauten Verteilungen:

BetaDistribution                LogNormalDistribution
CauchyDistribution              NoncentralChiSquareDistribution
ChiDistribution                 NoncentralFRatioDistribution
ExponentialDistribution         NoncentralStudentTDistribution
ExtremeValueDistribution        ParetoDistribution
GammaDistribution               RayleighDistribution
HalfNormalDistribution          UniformDistribution
LaplaceDistribution             WeibullDistribution
LogisticDistribution

Multinormalverteilungen

Wiederaufnahme des Beispiels aus DerivateApp.nb

Der gleiche Versuch wie vorhin.

Vergleich mit Pseudozufallszahlen

Funktionen auf Streams

Uniforme Verteilung auf der Einheitskreisscheibe.

Eine numerische Integration einer Funktion f  kann nun einfach durch Anwenden von f auf den Stream, gefolgt von der Mittelwertbildung, durchgeführt werden.

VaR

Für pfadunabhängige Derivate lassen sich Pseudozufallszahlen in Monte Carlo-Simulationen durch Quasizufallszahlen ersetzen. Die Konvergenz verbessert sich dabei von auf .

Quasizufallszahlen lassen sich allerdings nicht für die Simulation von Pfaden benutzen, da ihre Autokorrelation ganz anders ist, als die von Pseudozufallszahlen.