Stochastische Simulation

Mit Simulation können auch exotische und pfad-abhängige Derivate berechnet werden. Zugrunde liegt die Annahme, daß die (kontinuierlich verzinsten) Renditen normalverteilt sind. Das ergibt die lognormale Verteilung der Schlußkurse.

Simulation der lognormalen Verteilung

Durch Unterteilen der Laufzeit in n Intervalle können wir den Verlauf der Kurse simulieren. Mittelwert und Volatilität werden entsprechen skaliert. Der Ausgangskurs ist immer gleich 1. Verfahren für lognormale Zufallszahlen sind bereits in Mathematica eingebaut.

Als Beispiel hier 10 Intervalle mit erwartetem Ertrag 10% und 20% Volatilität.

Wiederholte Simulation

Die Simulationsfunktion führt eine Anzahl Versuche durch und teilt jeweils das Zeitintervall in n Perioden. Auf die resultierende Zeitreihe wird die Bewertungsfunktion angewendet. Für n=1 wird eine spezielle effizientere Definition verwendet. Diese kann verwendet werden, wenn der Wert des Derivates nicht vom Pfad abhängt, da dann ein Berechnungsschritt pro Simulation genügt.

Bemerkung: Der Erwartungswert des Ertrages der lognormalen Verteilung ist nicht μ, sondern

also muß gesetzt werden, um gemäß resikoneutraler Bewertung den erwarteten Ertrag zu erhalten.

Kontrolle: Bewertung eines gewöhnlichen Calls

Der Wert einer gewöhnlichen Call-Option hängt nur vom letzten Kurs ab. Diese Bewertungsfunktion berücksichtigt also nur den letzten Wert der Zeitreihe.

10,000 Simulationen über ein Jahr, aktueller Kurs gleich Ausübungspreis gleich 1, Zinssatz 10%, Volatilität 20%. In diesem Fall ist es nicht notwendig, Zwischenkurse zu rechnen, ein Schritt genügt.

Der Wert muß noch diskontiert werden.

Das Ergebnis stimmt gut mit dem Black-Scholes Wert überein.