Differentialgleichungen und Differenzenverfahren

Preisbildung direkt durch Erwartungswerte

Allen Modellen für die Bewertung derivativer Instrumente liegt die Annahme zugrunde, daß der richtige Preis gleich dem diskontierten Erwartungswert des Wertes des Instrumentes bei Fällgkeit ist. Dabei wird bei der risiko-neutralen Bewertung angenommen, daß der erwartete Ertrag des Grundwertes gleich dem risikofreien Zinssatz ist, und daß die Erträge normalverteilt sind, was zur lognormalen Verteilung der Kurse führt.

Dieser Erwartungwert läßt sich mit Mathematica direkt berechnen, für beliebig exotische Auszahlungsfunktionen für Europäische Derivate.

wobei der Kurs bei Fälligkeit, der aktuelle Kurs, der Wert des derivativen Instrumentes und die Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Damit der erwartete Ertrag gleich ist, muß der mittlere Ertrag gleich sein. Die jährliche Volatilität der Erträge ist , die Restlaufzeit .

Definition für numerische Rechnung:

Definition für symbolische Rechnung:

Beispiel: binäre Optionen

Auszahlung gleich 1, falls Schlusskurs ≥x, 0 sonst.

Die Fehlermeldungen weisen darauf hin, dass die Resultate nicht genügend genau sind. Wir können entsprechende Parameter geben, um die Rechengenauigkeit zu erhöhen.

Binomiale Modelle

Der Wert eines derivativen Instruments berechnet sich nach der Annahme, daß der Kurs des zugrundeliegenden Wertpapieres entweder um den Faktor u nach oben oder um d=1/u nach unten geht. Mittels risiko-neutraler Bewertung lassen sich den Übergangswahrscheinlichkeiten berechnen.

Das folgende Programm verwendet dynamisches Programmieren und vermeidet damit umständliche Schleifen oder eine teure Rekursion. fn[s] ist die Bewertungsfunktion am Ende der Laufzeit, g[s] die Bewertung vor Ablauf bei vorzeitiger Ausübung. Für europäische Optionen ist g[s]=-∞. q ist der kontinuierliche Ertrag des Underlying (z. Bsp. für Devisenoptionen).

Hier einige häufig verwendete Auszahlfunktionen für Call- und Put-Optionen. ist der aktuelle Kurs, der Ausübungspreis.

Beispiele aus Hull

Bsp. 14.1. Amerikanische Put-Option at the money, Ausübungspreis 50, Volatilität 40%, Zinssatz 10%, 5 Monate Laufzeit, 5 Rechenschritte.

Konvergenz: die Tabelle zeigt das Ergebnis für 10 bis 60 Rechenschritte. Die Werte alternieren um den Grenzwert. Dieses Bild zeigt anschaulich, daß bei unsorgfältiger Wahl der Anzahl Schritte systematische Fehler auftreten.

Zum Vergleich: europäische Put-Option.

Bsp. 14.4. Einjährige Put-Option auf GBP, in USD. Aktueller Kurs 1.61, Strike Preis 1.6, , , Volatilität 12%. Der risikolose Ertrag des Wertes (der GBP-Zinssatz) muss in der Formel berücksichtigt werden.

Vergleich mit Black-Scholes

Bei Calls ist vorzeitige Ausübung nicht optimal, also sollte der Preis mit Black-Scholes übereinstimmen. Die Graphik zeigt die langsame Konvergenz. Der Black-Scholes Wert liegt auf der Höhe der horizontalen Achse.

Control-Variate Technik

Berechnung eines amerikanischen Puts mittels binomialer Methode und einer kleinen Anzahl Schritte.

Mit denselben Parametern wird ein europäischer Put zum Vergleich berechnet:

Sein richtiger Preis ergibt sich aber auch aus BS:

Also können wir den Fehler der binomialen Methode schätzen und somit den Preis des amerikanischen Puts korrigieren.

Richtiger Wert nach Hull: 4.29.

Partielle Differentialgleichungen

Eine Vorschau auf die nächste Version von Mathematica.

Hull, Abschnitt 15.8. Die PDGL für (Europäische) Derivate. ist der Wert zur Zeit t bei aktuellem Kurs des Basiswertes s.

Randwerte für eine Put-Option. T ist das Verfallsdatum.

Parameter, aus Hulls Beispiel.

Hier die Werte zu den Zeiten t=0 und T.

Trotz der Warnung ist der maximale Fehler erst in der vierten Stelle.

Mit der Lösung haben gleichzeitig auch schon die ganze P&L-Fläche (ohne weitere Interpolation).

Bemerkenswerterweise erhalten wir auch die Griechen genügend genau, was bei numerischer Lösung von DGL, besonders aber beim Binomialverfahren nicht selbstverständlich ist. Δ ist als Funktion gegeben, die für jeden möglichen Wert von s und t ausgewertet werden kann.

Der maximale Fehler für t=0 ist sehr klein.

Hier noch Γ, das ja ATM eine Singularität aufweist.