Analytische (symbolische) Rechnungen

Formeln und Algorithmen aus der Literatur können fast eins zu eins in Mathematica eingegeben werden. Im Gegensatz zum Buch lebt aber die Formel in Mathematica. Man kann damit arbeiten, sei es numerisch oder symbolisch. Die Beispiele in diesem Abschnitt zeigen einige der Möglichkeiten auf.

Europäische Optionen auf Aktien

Ein Modell für die Preisberechnung von europäischen Call-Optionen, direkt aus Hulls Buch eingegeben. Die zusätzlichen Elemente, wie Module, sind leicht erlernbar.

Europäischer Put mittels Parität

Amerikanische Call-Option auf eine Aktie mit einer Dividendenzahlung.

Dabei bedeuten die Parameter:

	Preis der Aktie
	Ausübungspreis der Option
	Volatilität
	risikofreier Zinssatz
	verbleibende Laufzeit
	Dividendenzeitpunkt
	Dividende

Hilfsfunktion: Lösung der Gleichung :

Die kumulative Normalverteilung CND muß noch in der benötigten Form aus dem Statistik-Standardpaket definiert werden.

Bivariate Normalverteilung CMD:

Numerische Auswertung

Die selberdefinierte Funktion OptionValue kann numerisch ausgewertet werden. Hier ein Beispiel mit Kurs 98.5, Ausübungspreis 100, jährliche Volatilität der Rendite 23%, (kontinuierlicher) Zinssatz 8% p.a., Restlaufzeit 0.3 Jahre.

Der Wert einer Option mit Restlaufzeit 0.3 Jahre, Ausübungspreis 100, Volatilität 10%, Zinssatz 4%, wenn der heutige Aktienkurs 95 beträgt, und eine Dividende von 1 nach 0.2 Jahren bezahlt wird.

Wenn die Option nicht vorzeitig ausgeübt wird, ist ihr Wert ungefähr gleich dem Wert einer Option der Aktie ohne Dividende mit dem um den Barwert der Dividende verkleinertem Aktienkurs.

Wenn die Dividende genügend klein ist, ist die vorzeitige Ausübung nie optimal, und der Wert stimmt exakt mit dem Wert einer Option der Aktie ohne Dividende überein.

Graphik

Da die Funktion OptionValue für beliebige Argumente numerisch ausgewertet werden kann, können wir sie wie eine eingebaute Funktion behandeln und zum Beispiel auch zeichnen.

Optionspreis in Abhängigkeit des Aktienpreises:

P&L-Fläche, in Abhängigkeit von Aktienpreis s und Volatilität :

Mittels einer Animation können wir eine dritte Dimension ins Spiel bringen; hier zeigen wir, wie sich der Optionspreis (in Abhängigkeit des Aktienkurses) bei kürzer werdender Restlaufzeit ändert.

Symbolisches Rechnen: die Griechen

Das Delta einer Option ist die Ableitung nach dem Aktienkurs. Mathematica kann die selber definierte Funktion OptionValue nach den Regeln der Kunst ableiten.

Hier eine Darstellung der Abhängigkeit von der Restlaufzeit, in the money, at the money, out of the money.

Lösen von Gleichungen

Mittels numerischer Nullstellensuche lassen sich Gleichungen nach jedem der Eingabeparameter lösen, hier nach der Volatilität, was die implizierte Volatilität ergibt.

Konsistenztest (vgl. mit dem Anfang dieses Abschnittes).