Zeitreihenanalyse

Das Time Series Pack enthält Funktionen zur Darstellung und Analyse von Zeitreihen: Modelle (AR, ARIMA, etc.), Korrelationen, Filterung, Modell-Identifikation, Schätzung von Parametern, Extrapolation, Spektralanalyse.

Analyse Roche Schlusskurse

Aus einer Datenbank (Excel-Daten in CSV-Format) habe wir Schlusskurse in die Variable rates eingelesen,
siehe DerivateIntro.nb.

Wir berechnen die (logarithmischen) täglichen Erträge.

Dies ist der mittlere tägliche Ertrag.

Mittleren Ertrag entfernen.

GARCH-Schätzung der täglichen Varianzen

Es ist eine Beobachtungstatsache, daß die Volatilität, also die Standardabweichungen der Erträge nicht konstant sind. Mittels GARCH-Modellen können nichtkonstante Volatilitäten modelliert werden.

Siehe Jorion, Chapter 9. Das einfachste Modell, GARCH(1,1) bringt die aktuellen Varianzen in Beziehung zum letzten Ertrag und zur letzten Varianz :

.

Im Time Series Pack sieht das so aus:

Maximum-Likelihood Fit der Parameter , und :

Hier sind die bestimmten Parameter:

GARCH Schätzung der durchschnittlichen Varianz und Volatilität:

Zum Vergleich: empirische Vola:

GARCH-Schätzung der aktuellen Varianzen

Aktuelle Volas (Standardabweichungen):

Konfidenzbänder, nach Jorion, Value at Risk. Die Volatilitäten sind ja eigentlich die Standardabweichungen, also sollte die Mehrzahl der Erträge innerhalb eines Bandes von ±2 Standardabweichungen liegen. Diese Grafik zeigt das anschaulich.

Anteil "outlier", also Erträge, die außerhalb des Bandes liegen.

Erwartete Zahl (etwa 5% bei 2SD):

Zinssätze

Einlesen der Daten

3-Monats LIBOR, 1981-1994, Datei Data/Libor3.txt. Analog wie Termstrukturen verarbeiten, enthält aber keine Kopfzeile.

Modell von Cox, Ingersoll, Ross

Veränderungen der kurzzeitigen Zinsen folgt einem selbstkorrigierenden Prozess. dz ist eine normalverteilte Zufallsvariable.

Wir schätzen die Parameter a, b und σ nach der maximum likelihood Methode. Diese ist eine Verallgemeinerung der Methode der kleinsten Qudrate bei variablen Varianzen.

Zunächst benötigen wir die aktuellen Varianzen und die Residuen

Die Log-Likelihood

Skalierung

Gute Startwerte für die Maximierung erhalten wir aus einer linearen Schätzung (kleinste Quadrate)...

...sowie aus der Standardabweichung der Daten

Jetzt können wir maximieren:

Zinskurven

ist der Preis eines Zerobonds zur Zeit t mit Fälligkeit zur Zeit T nach Cox, Ingersoll, Ross.

Für t=0 ist der aktuelle Zins gleich dem ersten Wert unserer Zinsreihe.

Daraus die Zinssätze für Laufzeit T-t zur Zeit t.

Hier der Zweijahreszins.

Der kurzfriste Zins für stimmt besser mit r1 überein als der 3Mt-Zins. Wir haben ja den Fehler gemacht mit 3Mt-Zinsen zu rechnen, statt mit den kurzfristigen Zinsen.

Die Zinskurve zur Zeit t=0 für Laufzeiten bis 10 Jahre.

Und nach 5 Jahren, wiederum für 10 Jahre.